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poliedros

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Para entender esta clase es necesario que conozcas los elementos de la pirámide, explicado en otro artículo de la serie.

Supongamos que tenemos una pirámide de cartulina como la del dibujo y nos proponemos calcular el área lateral y el área total de la misma.

Para eso abrimos la pirámide por una de sus aristas y la desplegamos hasta obtener una figura plana. Esta figura es el desarrollo de la pirámide.

Calcular el area de la piramide

Observa que el desarrollo de la pirámide está formado por los triángulos que forman el área lateral y por el cuadro de la base.

Observa también que los cuatro triángulos que forman el área lateral son iguales.

Por lo tanto:

Área lateral de la pirámide = 4 x área del triángulo ABH

Área lateral de la pirámide = (4 x 8 cm x 12 cm) / 2 = 192 cm2

Observa que 4 x 8 cm es el perímetro de la base, y por lo tanto podemos escribir:

Área lateral de pirámide = perímetro de la base x apotema / 2

O sea, en este caso:

Área lateral de la pirámide = 32 cm x 12 cm / 2 = 192 cm2

Esta fórmula es valida para cualquier pirámide regular. Por lo tanto:

Área lateral de la pirámide = perímetro de la base x apotema / 2

El área total de la pirámide es la suma de el área lateral más el área de la base.

En este caso:

Área de la base = 8 cm x 8 cm = 64 cm2

Por lo tanto:

Área total de la pirámide = 192 cm2 + 64 cm2 = 256 cm2

El área lateral de una pirámide regular es igual al producto del perímetro de su base por la apotema de la pirámide dividido por 2.

El área total de una pirámide es igual a su área lateral mas el área de su base.

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Para entender esta clase es necesario que conozcas los elementos del prisma, explicado en otro artículo de la serie.

Supongamos que tenemos un prisma recto construido en cartón y lo abrimos hasta extenderlo completamente. La figura que obtenemos al abrir el prisma se llama desarrollo del prisma.

Desarrollo del prisma

Obsérvala y veras que esta formado por las caras laterales y las bases del prisma.

Vamos a calcular el área lateral y el área total del prisma cuyas dimensiones se indican en el dibujo.

Calcular area del prisma

Al desarrollar el prisma, sus caras laterales se transforman en el rectángulo ABCD. Por lo tanto, el área lateral del prisma es igual al área del rectángulo ABCD.

Base del rectángulo = 6 cm + 2 cm + 6 cm + 2 cm = 16 cm.

Altura del rectángulo = 10 cm.

Luego:

Área lateral del prisma = 16 cm x 10 cm = 160 cm2.

Observa que 6 cm + 2 cm + 6 cm + 2 cm = 16 cm es el perímetro de la base del prisma y que 10 cm es la altura del prisma. Por lo tanto:

Área lateral del prisma = perímetro de la base x altura.

Esta fórmula te permite calcular el área lateral de cualquier prisma.

Para averiguar el área total, debemos sumar a el área lateral el área de las bases.

Como las bases son iguales podemos decir:

Área total del prisma = área lateral + 2 x área base.

El área de la base es en este caso

6 cm x 2 cm = 12 cm2.

Por lo tanto:

Área total del prisma = 160 cm2 + 2 x 12 cm2 = 184 cm2

Fórmula para sacar el área total del prisma.

A = perímetro base x altura + 2 x área base

El área lateral de un prisma es igual al producto del perímetro de su base por su altura.

El área total de un prisma es igual a la superficie lateral más la superficie de sus bases.

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Venimos de un artículo donde explicamos la diferencia entre cuerpos poliedros y cuerpos rodantes. Allí también se muestran los cinco polígonos regulares.

En esta clase aprenderás sobre dos cuerpos poliedros fáciles de entender. Prismas y pirámides.

En la siguiente ilustración, los cuerpos que se representan son prismas.

Las caras laterales son paralelogramos y las bases son polígonos iguales entre si. Además, las bases son paralelas.

Cuerpos poliedros

Elementos de los prismas

Elementos de los prismas

Los lados de los polígonos que lo forman se llaman aristas del prisma.

Los puntos donde concurren las aristas se llaman vértices del prisma.

La distancia entre las bases es la altura del prisma.

Los prismas se clasifican en triangulares, pentagonales, hexagonales, etc., según sea la cantidad de lados de sus bases.

Clasificación de los prismas

Clasificacion de los prismas

Los prismas se clasifican según la forma de sus caras laterales en:

  • Prismas rectos. Son aquellos cuyas caras laterales son rectángulos o cuadrados.
  • Prismas oblicuos. Son aquellos cuyas caras laterales son paralelogramos que no son rectángulos ni cuadrados.

A su vez, los prismas rectos se clasifican en:

  • Prismas regulares. Son aquellos cuyas bases son polígonos regulares.
  • Prismas irregulares. Son aquellos cuyas bases son polígonos regulares.

Las pirámides

Partes de la piramide

Las pirámides son los poliedros cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos que tienen un vértice en común. Este vértice común se llama cúspide de la pirámide.

Altura de la pirámide es la distancia del vértice a la base.

Pirámides regulares son aquellas cuya base es un polígono regular y cuyas caras laterales son triángulos isósceles iguales.

Apotema de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales.

Según sea la cantidad de lados de la base, las pirámides pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales, etc.

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Al estudiar las figuras geométricas aprendes a diferenciarlas según su forma. Es así como puedes distinguir entre un polígono y una circunferencia. También conoces la diferencia entre un polígono regular y otro irregular.

Ahora vamos a estudiar los cuerpos geométricos.

Una caja, una pelota, un bonete y una lata de duraznos.

La pelota tiene la forma de una esfera, la caja tiene la forma de un prisma, el bonete tiene la forma de un cono y la lata de duraznos tiene la forma de un cilindro.

Cuerpos poliedros y cuerpos rodantes

Si observas el dibujo del prisma y le de la pirámide, te darás cuenta que cualquiera sea la forma en que apoyas estos cuerpos, la superficie de apoyo es siempre plana.

Los cuerpos que tienen todas sus caras planas se llaman cuerpos poliedros.

Ahora observa la esfera, el cilindro y el cono.

La superficie de la esfera es curva.

El cilindro y el cono tienen una parte de su superficie plana y una parte curva. El cilindro, el cono y la esfera son cuerpos rodantes.

Un cuerpo es poliedro si todas sus caras son planas.

Un cuerpo es rodante si alguna parte de su superficie es curva.

Los cinco poliedros regulares

Poliedros regulares

Las caras de un cuerpo poliedro son polígonos.

Si todas las caras de un poliedro son polígonos regulares iguales, el cuerpo es un poliedro regular.

Solo se pueden formar cinco poliedros regulares:

  • El tetraedro, que tiene 4 caras que son triángulos equiláteros.
  • El hexaedro o cubo, que tiene 6 caras que son cuadrados.
  • El octaedro, que tiene 8 caras que son triángulos equiláteros.
  • El dodecaedro, que tiene 12 caras que son pentágonos regulares.
  • El icosaedro, que tiene 20 caras que son triángulos equiláteros.